142857’nin sırrı, matematiğin sihirli sayısı

Daha sade bir düzeyde ise bu sayı, eğlenceli matematiğin klasiklerinden biri haline geldi. Martin Gardner ve “insan bilgisayar” olarak bilinen Hint zihinsel hesap ustası Shakuntala Devi gibi isimler sayesinde popülerleşip matematiğin herkes için eğlenceli olabileceğini göstermişti.

Bu sayı, Amerikalı yazar Don DeLillo’nun kült romanı Ratner’ın Yıldızı (1976) içinde bile yer alır. Romanda bilim insanları, Samanyolu’ndaki uzak bir yıldızdan gelen altı rakamlı bir mesajı çözmeye çalışır: 142857.

Sihirbazlar için de oldukça cazip; çünkü bu sayının özellikleri, zihin okuma veya sonucu önceden tahmin etme illüzyonu yaratmaya olanak tanır.

Örneğin basit bir numara. Birine telefonda hesap makinesine 10101 yazmasını söyleyin.
Sonra bunu 1 ile 6 arasında bir sayıyla çarpmasını, ardından 7’ye bölmesini ve 99 ile çarpmasını isteyin.

Sonucun içinde mutlaka 1, 2, 4, 5, 7 ve 8 rakamlarının olacağını kesin bir şekilde söyleyebilirsiniz.

Peki bu sayıyı bu kadar ilginç yapan ne?

Döngüsel sayı özelliği diyebiliriz.

142857’yi çarpmaya başlayalım:

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

Fark ettiniz mi? Tüm sonuçlar aynı rakamlardan oluşuyor, sadece sıraları değişiyor.

Bu yüzden 142857 matematikte döngüsel sayı olarak adlandırılır. Yani bir sayıyı 1’den n’e kadar olan sayılarla çarptığında, kendi rakamlarının döndürülmüş versiyonlarını elde edersin.

Bu, sanki rakamlar görünmez bir dairesel ip ile birbirine bağlıymış gibi davranır.

7 ile olan sihirli ilişki

142857 × 7 = 999999

Bu rastlantı değil. Çünkü 1 ÷ 7 = 0,142857142857…

Yani 142857, 1/7 kesrinin tekrar eden ondalık kısmı.

Daha da ilginci 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 ve 6/7 işlemlerinde de aynı rakamlar farklı başlangıç noktalarıyla tekrar eder.

Bu yüzden 7 ile çarpınca sonuç 999999 olur — yani aslında matematiksel olarak 1’e eşdeğer olan 0,999999… ifadesinin bir yansımasıdır.

Diğer ilginç özellikler

Bazı eğlenceli toplamalar:

14 + 28 + 57 = 99
142 + 857 = 999
1428 + 5714 + 2857 = 9999

Ortaya çıkan düzen dikkat çekici.

Ayrıca sayının ortasına bir 9 eklerseniz (1429857), yine benzer döngüsel özellikler korunur.

7’den sonra ne oluyor?

142857 × 8 = 1142856

İlk bakışta düzen bozulmuş gibi görünür.

Ama ilk rakamı alıp geri eklersen:

1 + 142856 = 142857

Yani sayı tekrar kendine döner.

Bu durum 9, 10, 11 gibi çarpımlarda da devam eder. Özellikle 7’nin katlarında tekrar 999999 desenine ulaşılır.

Daha büyük örnekler

142857 × 142857 = 20408122449

Sağdan 6 basamak alıp kalanla topladığında ise…

122449 + 20408 = 142857

Yani sayı yine kendine geri döner.

Sadece bu sayı mı?

Hayır. Başka döngüsel sayılar da vardır.

Örneğin:

1 ÷ 17 = 0,0588235294117647…

Bu sayı da döngüseldir ve 16 basamaktan oluşur.

Genel kural şöyle: Döngüsel sayılar genellikle asal sayılarla bağlantılıdır.

Basamak sayısı = asal sayının 1 eksiği

Örneğin:

7 → 6 basamak (142857)
17 → 16 basamak

Matematiksel anlamı

Her asal sayı döngüsel sayı üretmez, ancak tüm döngüsel sayılar asal sayılarla ilişkilidir.

Bu özelliğin oluşması için 1’i sayıya böldüğünde, uzunluğu (asal sayı – 1) olan tekrar eden bir ondalık dizi elde edilmesi gerekir.

Bu sayede rakamlar kusursuz şekilde döner ve döngü hiç bozulmaz.

Kaynak: BBC MUNDO